En esta entrada, vamos a sumergirnos en el fascinante mundo de los problemas de movimiento, específicamente aquellos que involucran persecuciones y encuentros. Estos problemas son comunes en la física y las matemáticas, y comprender cómo abordarlos es esencial. Para ilustrar estos conceptos, usaremos ejemplos prácticos y te guiaremos paso a paso en la resolución de cada uno.
Para comenzar, es crucial entender cómo identificar un problema de movimiento. Estos problemas suelen describir situaciones de persecución o encuentro, donde se pregunta por un tiempo, un espacio o una velocidad. Siempre hay datos de los dos móviles, aunque a veces parece que falta información.
Las características comunes de los problemas de movimiento incluyen:
- Descripción de una situación de persecución o encuentro.
- Preguntas sobre tiempo, espacio o velocidad.
- Datos de los dos móviles, aunque a veces incompletos.
Para enfrentarte a un problema de movimiento, sigue estos pasos:
- Realiza un esquema que represente el problema.
- Establece qué datos te da el problema y qué datos debes calcular.
- Identifica las relaciones entre los datos.
- Busca variables que sean iguales para ambos móviles.
- Plantea una ecuación de primer grado basada en el esquema.
A continuación, resolveremos varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos pasos.
Ejemplo 1: Alicia y la Liebre de Marzo
Problema: Alicia está conversando con el Gato de Cheshire y ve pasar a la Liebre de Marzo a una velocidad de 8 km/h. Alicia sale corriendo tras la liebre a 10 km/h, 10 segundos después. La madriguera de la liebre está a 100 metros de donde está Alicia. ¿Podrá alcanzar a la liebre antes de que entre en la madriguera?
Solución:
Comenzamos con un esquema del problema:
Aquí, Alicia sale 10 segundos después de la Liebre de Marzo y deben encontrarse antes de la madriguera. Las velocidades son distintas, y el tiempo que corre la Liebre es el mismo que el de Alicia más 10 segundos.
La clave es que el espacio recorrido por ambas es el mismo hasta que se encuentran. Usamos la fórmula de distancia:
Para Alicia:
Para la Liebre:
Convertimos las unidades para que sean coherentes. En este caso, pasamos los segundos a horas. Como la distancia recorrida por ambos es la misma, planteamos la ecuación:
Resolviendo esta ecuación, obtenemos que . Esto significa que tardan 30 segundos en encontrarse. Luego, la distancia a la que se encuentran es:
Por lo tanto, se encuentran 83 metros después de haberse cruzado, lo que significa que Alicia alcanza a la liebre antes de que llegue a la madriguera.
Ejemplo 2: Paula y Álex
Problema: Paula sale a las 10:00 de su casa caminando a 4 km/h en busca de su amigo Álex. A las 10:15 sale Álex a su encuentro en bicicleta a 18 km/h. Si viven a 5 km, ¿a qué hora se encuentran?
La forma esquemática de representar el problema es:
Entre ambos recorren la totalidad de los 5 km. Todas las unidades son coherentes es decir, todo está en kilómetros y horas. Alex sale después que Paula, por lo tanto el tiempo que está en movimiento es menor.
A continuación te pongo un cuadro similar al que hicimos en el ejercicio anterior:
Ya sabes que si tienes la velocidad () y la distancia (), el tiempo () se calcula Tiempo de Paula: Tiempo de Álex: De esta segunda ecuación tenemos que Y ahora podemos igualar los tiempos de Paula que hemos calculado (fíjate que en el fondo es resolver un sistema de dos ecuaciones lineales por igualación). Así obtenemos:
Cuando resuelves esta ecuación obtienes que:Pues bien, para saberlo, lo que debes hacer es lo siguiente:¿Cuánto tiempo ha estado andando Paula? Por tanto, Álex ¿Cuánto tiempo estuvo montado en bicicleta? En ese tiempo, ¿Qué distancia recorrió Álex? ¿entre ambos suman la distancia inicial?: Y salvo por el redondeo es verdad.Por tanto: Paula y Álex se encuentran a de la casa de Paula y de la casa de Álex.
Ejemplo 3: Camión y Automóvil
Problema: Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60 km/h y, dos horas más tarde, sale un automóvil de la misma ciudad a 90 km/h. ¿A qué distancia de la ciudad alcanzará el automóvil al camión?
Este es un ejemplo típico de ejercicio de persecución, cuyo esquema es:
El resumen de datos es el que puedes ver en el siguiente cuadro:
La ventaja de este cuadro es que acabamos de ver qué es lo común en ambos casos (la distancia) y además la relación que existen entre todas las variables del problema. Como la distancia () conociendo la velocidad () y el tiempo () es: y ambas distancias (camión y automóvil) son iguales, tenemos:
Y si resuelves esta ecuación de primer grado, sencilla donde las haya, obtienes que:O dicho de otra manera, se encuentran cuando el camión lleva 6 horas de recorrido o cuando el alutomóvil lleva 4 horas de recorrido.Es decir, se encuentran a del punto de inicio.
Ejemplo 4: Esther y Juan
Problema: Esther viaja de Sevilla a Barcelona en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva una velocidad constante de 100 km/h. A 110 km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobús que viaja a 85 km/h, con la misma dirección que Esther. ¿A qué hora se encuentra Esther con el autobús? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno?
Como siempre, empieza por realizar un esquema de la situación:
Ahora deberías elaborar un cuadro donde aparezcan todas las variables y su valor numérico para así poder saber su relación.
Puedes observar en el cuadro de arriba que ahora lo que es distinto para ambos, a parte de la velocidad es la distancia, porque Jorge sale con 110 km recorridos debido a que la referencia la hemos puesto en la Ciudad Condal. Y sabiendo qeu lo común es el tiempo, podemos plantear la siguiente ecuación:
Y si resuelves la ecuación anterior obtienes que:
Por lo tanto, la distancia que recorre Jorge es:
El último paso que deberías hacer es comprobar que efectivamente los cálculos son correctos. Para ello deberías calcular el tiempo que está cada uno de ellos en movimiento y ver si las distancias que calculas de esa manera son las mismas.
NOTA: En este ejercicio nos han dado la distancia Sevilla-Barcelona, pero podríamos haberlo resuelto sin saber ese dato.
Ejemplo 5: Tomás y Natalia
Problema: A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí 669 km, a una velocidad de 75 km/h, y a esa misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 90 km/h. ¿A qué hora se cruzarán? ¿Y a qué distancia estarán de Cádiz?
Lo primero es lo primero. Debes esquematizar el problema, como por ejemplo aquí abajo.
Ahora toca resumir los datos de la siguiente manera:
¿Qué es lo común en ambos casos? El tiempo. Puesto que ambos salen a la misma hora, ambos están en movimiento el mismo tiempo. Así puedes plantear la siguiente ecuación:
Y resolver esta ecuación es muy sencillo. Su solución es:
Esto significa que se encuentran a esa distancia de Cádiz, pero ¿a qué hora? Calcular esto es tan sencillo como saber cuánto tiempo ha tardado Tomás en recorrer esa distancia y sumárselo a la hora de salida:
Por tanto la solución es:Se encuentran a de Cádiz a las ¡¡¡Ten cuidado con el cambio de horas a horas, minutos y segundos. Se trata del sistema sexagesimal!!!
Ejercicios de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
El Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) es un tipo de movimiento en el que un objeto se desplaza en línea recta con velocidad constante. En este contexto, la velocidad se mantiene invariable a lo largo del tiempo, lo que implica que no hay aceleración. Este concepto fundamental en la cinemática nos permite comprender y analizar el comportamiento de los objetos en movimiento rectilíneo bajo condiciones específicas.
Para profundizar en la comprensión de este fenómeno, hemos preparado una serie de ejercicios resueltos que abarcan diferentes aspectos del MRU. Estos problemas proporcionarán la oportunidad de aplicar las fórmulas y conceptos asociados con el MRU, como la relación entre posición, velocidad y tiempo.
Estos ejercicios resueltos buscan proporcionar una herramienta efectiva para consolidar los conocimientos adquiridos en el estudio del MRU, así como para mejorar las habilidades de resolución de problemas relacionados con este tipo de movimiento.
Ejercicio 1
Problema: En el Gran Premio de España Carlos Sainz toma una recta a 288 km/h. Si la recta es de 1000 metros, ¿cuántos segundos le tomó recorrerla?
Solución:
- Identificamos los datos conocidos:
- Verificamos que se tengan las mismas unidades. Notamos que la velocidad está dada en kilómetros por hora, entonces la convertimos a metros por segundo:
- Sustituimos en la ecuación de velocidad promedio:
Así, el tiempo requerido es de 12.5 segundos.
Ejercicio 2
Problema: Un ciclista se mueve en línea recta con una rapidez de 36 km/h. ¿Cuántos metros recorre en 10 segundos?
Solución:
- Identificamos los datos conocidos:
- Verificamos que se tengan las mismas unidades. Notamos que la velocidad está dada en kilómetros por hora, entonces la convertimos a metros por segundo:
- Sustituimos en la ecuación de rapidez promedio:
Así, el ciclista recorre 100 metros.
Ejercicio 3
Problema: Un automóvil pasa por una zona escolar, por lo que disminuye su velocidad a 18 km/h. Si tarda 5 segundos en pasar la zona escolar sin cambiar su velocidad, ¿cuántos metros recorre en este tiempo?
Solución:
- Identificamos los datos conocidos: Al no cambiar la velocidad significa que se mueve a velocidad constante. Al inicio de la zona escolar la posición inicial es cero y buscamos la posición final
- Verificamos que se tengan las mismas unidades. Notamos que la velocidad está dada en kilómetros por hora, entonces la convertimos a metros por segundo:
- Sustituimos en la ecuación de velocidad constante:
Así, el automóvil recorre 25 metros en 5 segundos.
Ejercicio 4
Problema: Un tren de alta velocidad viaja a 200 km/h sin cambiar su velocidad. ¿Cuánto tiempo emplea en recorrer 32 kilómetros?
Solución:
- Como el tren no cambia de velocidad, entonces su rapidez y dirección no cambian, por lo que se trata de un problema de movimiento rectilíneo uniforme.
- Identificamos los datos conocidos:
- Sustituimos en la ecuación de velocidad constante:
Así, el tren recorre en 0.16 horas que es lo mismo que 9.6 minutos.
Ejercicio 5
Problema: La velocidad de un automóvil con respecto al tiempo se representa en la siguiente gráfica:
Si la velocidad está dada en kilómetros por hora y el tiempo en horas, ¿cuál es la velocidad del automóvil y que distancia recorre en un tiempo de 20 minutos?
Solución:
- De la gráfica observamos que se trata de una recta constante, por lo que
- Identificamos los datos conocidos:
- Convertimos los minutos a horas:
- Sustituimos en la ecuación de velocidad constante:
Así, el automóvil recorre 16.67 km en 20 minutos.
Ejercicio 6
Problema: La función de posición en metros de una persona caminando se representa en la siguiente gráfica:
Si el tiempo se mide en segundos, ¿cuál es la velocidad de la persona?
Solución:
- De la gráfica observamos que la función de posición respecto al tiempo es una recta, por lo que la velocidad es igual a la pendiente de la recta
- Otra manera de resolver el problema consiste en recordar que cuando la función de posición respecto al tiempo es una recta, entonces la velocidad es constante. Luego utilizamos la fórmula
- Identificamos los datos conocidos:
- Sustituimos en la ecuación de velocidad constante:
Así, la velocidad de la persona es de 1.67 m/s.
Ejercicio 7
Problema: La función de posición en metros de dos personas corriendo en un mismo camino se representa en la siguiente gráfica:
Si el tiempo se mide en minutos y la posición en kilómetros, ¿qué representan ambas gráficas?, ¿en qué tiempo se encuentran ambas personas?
Solución:
- De la gráfica de observamos que la función de posición respecto al tiempo es una recta, por lo que la velocidad es igual a la pendiente de la recta, la cual es constante, por lo que estamos en un caso de movimiento rectilíneo uniformeDe manera similar, de la gráfica de observamos que la función de posición respecto al tiempo es una recta, por lo que la velocidad es igual a la pendiente de la recta, la cual es constante, por lo que estamos en un caso de movimiento rectilíneo uniforme
- Establecemos un sistema de posición, siendo el movimiento de este a oeste positiva y de oeste a este negativa. Entonces la primera persona se mueve de este a oeste 3 kilómetros durante 6 minutos, mientras que la segunda persona se encuentra a 3 kilómetros al oeste de la primera y recorre 1.5 kilómetros en 6 minutos
- Ambas personas comienzan a moverse al mismo tiempo con sus respectivas velocidades hasta encontrarse. Notamos que al encontrarse, ambas posiciones son iguales
- Igualamos ambas funciones de velocidad constante y despejamos el tiempo
Así, ambas personas se encuentra después de 4 minutos de iniciar a correr.
Ejercicio 8
Problema: Dos automóviles se encuentran al mismo tiempo en extremos opuestos de un camino recto de 60 kilómetros. El primer automóvil se mueve a velocidad constante de 90 km/h y el segundo a 75 km/h. ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido hasta que ambos se encuentren?, ¿qué distancia habrá recorrido cada uno?
Solución:
- Conviene representar gráficamente el problema. Para ello tenemos que establecer la dirección del movimiento siendo la positiva la dirección del primer automóvil y negativa la del segundo, de manera que el primero se encuentra al inicio en la posición cero y el segundo en la posición sesenta
- Como ambos se mueven a velocidad constante, la gráfica de posición respecto al tiempo es una rectaLa función de posición del primer automóvil esLa función de posición del segundo automóvil es
- Ambos automóviles comienzan a moverse al mismo tiempo con sus respectivas velocidades hasta encontrarse. Notamos que al encontrarse, ambas posiciones son iguales
- Igualamos ambas funciones de velocidad constante y despejamos el tiempo
Así, ambos automóviles se encuentran después de 0.36 horas que es lo mismo que 21.6 minutos.
La distancia recorrida por el primer automóvil es
La distancia recorrida por el segundo automóvil es
Ejercicio 9
Problema: Una persona que camina a 3 km/h pasa por un punto A; 5 minutos después una segunda persona pasa por el punto A a 5 km/h. Si ambas personas se mueven a velocidad constante y en la misma dirección, ¿cuánto tiempo habrá transcurrido hasta que ambos se encuentren?
Solución:
- Conviene representar gráficamente el problema.
- Convertimos a las mismas unidades, para esto las velocidades las cambiamos a kilómetros por minuto
- Como ambos se mueven a velocidad constante, la gráfica de posición respecto al tiempo es una recta. Consideramos el punto A como la posición inicial ceroLa función de posición de la primera persona esLa función de posición de la segunda persona es
- Como la segunda persona pasa por A después de 5 minutos de haber pasado la primera persona por el mismo punto, tenemos que .Si es el tiempo que tarda la segunda persona en alcanzar a la primera, esta habrá empleado 5 minutos más que la segunda, por lo que tenemos
- Igualamos ambas funciones y despejamos el tiempo
Así, ambas personas se encuentran después de 8.33 minutos.
Ejercicio 10
Problema: Dos motocicletas se encuentran al mismo tiempo en un punto A de un camino recto. El primero se mueve a velocidad constante de 90 km/h y el segundo se mueve en dirección opuesta a 60 km/h. ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido hasta que ambos se encuentren separados 20 kilómetros entre si?
Solución:
- Conviene representar gráficamente el problema. Para ello tenemos que establecer la dirección del movimiento siendo la positiva la dirección del primer motociclista y negativa la del segundo, de manera que ambos se encuentran en el punto A igual a la posición cero, a tiempo cero
- Como ambos se mueven a velocidad constante, la gráfica de posición respecto al tiempo es una rectaLa función de posición de la primera motocicleta esLa función de posición de la segunda motocicleta es
- Ambas motocicletas comienzan a moverse al mismo tiempo con sus respectivas velocidades hasta encontrarse 20 kilómetros separadas entre si. Ambas distancias recorridas deben sumar 20 kilómetros, pero la segunda se mueve en dirección negativa, por lo que
- Sustituimos las funciones de posición y despejamos el tiempo
Así, ambas motocicletas se encuentran separadas 20 kilómetros entre si, a los 0.1333 horas de haber pasado por el punto A, que es lo mismo que 8 minutos.